Сизиф и его камень

  О квадратном трехчлене,
квадратном уравнении и теореме Виета

Логарифмическая спираль

   Вот так выглядит квадратное уравнение:

 

   Когда я прошу своих учеников решить его, то всегда слышу один и тот же вопрос: «через дискриминант?». Видимо, слово «дискриминант» звучит очень сурово и солидно, раз на протяжении стольких лет любят его произносить. Хотя за этой солидностью стоит всего лишь латинское  discriminare — «разбирать», «различать».
   Я обычно на вопрос «через дискриминант?» отвечаю: да как угодно. Допустим, ты и слова этого никогда не слышал, как быть?
   Итак, попробуем решить это уравнение так, словно мы о дискриминанте никогда ничего и не слыхали. Давайте приведем это уравнение к такому виду, чтоб первый коэффициент равнялся единице. Естественно, что первых коэффициент a не равен нулю,  иначе мы бы имели обычное линейное уравнение типа bx+c=0. Поделим все члены нашего квадратного трехчлена на а:

представить в виде удвоенного произведения двух чисел, умножив и разделив на 2 все выражение:

Таким образом,  наш трехчлен мы можем переписать так:

     

Теперь у нас есть квадрат первого слагаемого и удвоенное произведение первого на второе, но нет квадрата второго слагаемого, но мы его придумаем, то есть добавим, а потом, чтоб не нарушилось равенство, снова отнимем:

Та часть выражения, которая выделена красным, и есть квадрат суммы двух чисел:

Тогда исходное уравнение примет вид:

Ту часть, что выделена черным, мы, приведя к общему знаменателю,  можем представить как:

или

учитывая, квадратный корень из 4a2 равен 2a,

 

Таким образом, мы имеем разность квадратов двух чисел:

Произведение двух выражений равно нулю, если нулю равно хотя бы одно из них:

или

Если теперь попытаться сложить корни нашего трехчлена, то легко  увидеть, что сумма корней

а произведение корней

Если мы примем b/a = p, а  c/a=q, то уравнение примет вид

x2+px+q=0

такое уравнение называют приведенным.

 Теорема Виета (Francois Viete):

Cумма корней приведенного квадратного равнения
x2 + px + q = 0 

равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком,
а произведение – свободному члену
q
   x1+x2= -p;     x1x2= q

   Как видите, при решении квадратного уравнения мы ни разу не употребили слово "дискриминант", и всё обошлось, уравнение решили, и теорему Виета легко доказали.

   О дискриминанте речь пойдет дальше.

 

Sergey Zarifyan © 2008