Доказательств этой теоремы - великое множество.  Мне нравится очень простое и наглядное доказательство, которое вошло в историю как доказательство Гарфилда. А сам Гарфилд (James Abram Garfield, 1831-1881)  вошел в историю, как 20-й президент США.

Имеем прямоугольный треугольник ABC. На продолжении катета CB отложим отрезок BC₁, равный катету AC, и восставим из точки C₁  перпендикуляр C₁B₁, равный СВ. Соединим точки  B и B₁. Имеем трапецию ACC₁B₁.  Основаниями этой трапеции являются катеты AC и C₁B₁,  а высотой - сумма катетов CB и C₁B₁.

Площадь трапеции равна
	где AC = BC1=b, CB = C1B1 = a,
Подставив, получим		(1)

C другой стороны, площадь этой же трапеции равна сумме площадей треугольников ABC, BB₁C₁ и ABB₁.

где

Тогда площадь трапеции

(2)

Sergey Zarifyan ©2008