Сизиф и его камень

Формулы сокращенного умножения
  и бином Ньютона

Астроида (алгебраические кривые)

   Ключевые слова:

квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов

  • Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй величины. (a+b)2=a2+2ab+b2


  • Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.величины (a-b)2=a2-2ab+b2
  • Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
    (a+b)(a-b)=a2-b2

  • Куб суммы двух величин равен кубу первой величины плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

    (a+b) 3 =a3+3a 2b+3ab2+b3


  • Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

    (a-b) 3 =a3-3a 2b+3ab2-b3


  • Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
    (a+b)(a2-ab+b2)=a3 +b3

  • Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

    (a - b)(a2+ab+b2)=a3- b3


    Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

Пример. Докажем формулу   a3+b3  = ( a  +  b )( a2 – ab + b2 ). 

Имеем: ( a  +  b )( a2 – ab + b2 ) = a3 – a2b + ab2ba2ab2  –  b3

Приводя подобные слагаемые, мы видим, что

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3+b3, что и доказывает нужную формулу.

Аналогично доказывается, что (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

Мало просто знать наизусть формулы сокращенного умножения. Надо еще научиться видеть в конкретном алгебраическом выражении эту формулу.

Например:

49m2 – 42mn + 9n2 = (7m – 3n)2

Или другой пример, посложнее:

квадрат суммы

Тут 3x2 можно представить как (3x)2

Полезно еще и знать, как возводить двучлен в степень большую, чем 3. Формула, позволяющая выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665 г.  и получила название бинома Ньютона. Бином Ньютона Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n – положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом k > n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н.Абелем.) Такие частные случаи, как

(a+b)2=a2+2ab+b2    и  (a+b) 3 =a3+3a 2b+3ab2+b3

были известны задолго до Ньютона. Если n – положительное целое число, то биномиальный коэффициент при an-kbk в формуле бинома есть число комбинаций из n по k, обозначаемое Ckn . При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля:

 

Треугольник Паскаля

в котором каждое из чисел за исключением единиц равно сумме двух соседних чисел, стоящих строкой выше. Для данного n соответствующая (n-я) строка треугольника Паскаля дает по порядку коэффициенты биномиального разложения n-й степени, в чем нетрудно убедиться при n = 2 и n = 3. 

Sergey Zarifyan © 2008